평균값정리를 사용한 함수방정식의 쌩기초

Calculus
Published

May 3, 2025

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Question

다음 조건을 만족하는 다항함수 \(f(x)\)의 형태를 구하시오: \[ \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(x), \quad x \ne 1 \]

IDEA

더욱 일반화하기 위하여, 다항함수 라는 조건이 아닌,
함수 f(x)가 domain에서 1번 미분가능하다는 조건으로 문제를 풀이한다.
(1, x)가 아니라 (a, b)로 주어지더라도, 동일한 방식으로 문제를 풀이할 수 있다.

Solution 1. 평균값 정리 (Mean Value Theorem) 활용

  1. 함수 \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)가 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해, \[ \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c) \] 를 만족하는 상수 \(c \in (1,x)\)가 존재한다.

  2. 따라서 함수 \(f(x)\)는 \(\forall x \ne 1\)에 대해, \(f'(x) = \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c) = A\)라는 상수값을 가진다. 즉, \[ f(x) = Ax+B,\quad x\ne 1 \]

    • 이 때 \(x=1\)에서 함수 \(f(x)\)가 미분가능하므로, 연속성에 의해 \(f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = A+B\)이다. 즉, 다시 정리하여, \[ f(x) = Ax+B,\quad \forall x\in \mathbb{R} \] —

Solution 2. 이계 미분가능성 유도.

  1. 관계식 \[ \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(x), \quad x \ne 1 \] 에서 함수 \(f(x)\)의 미분가능성에 의해 Left가 미분가능하므로,
    Right 또한 주어진 범위 \(x \ne 1\)에서 미분가능함을 알 수 있다.

    즉, 함수 \(f(x)\)의 이계도함수 \(f"(x)\)가 \(x \ne 1\)에서 존재함을 알 수 있다.

  2. 따라서 양 변에 \((x-1)\)을 곱하여 미분하면, 아래가 성립한다. \[ \begin{aligned} f(x) - f(1) &= (x - 1)f'(x), \quad x \ne 1 \\ \Rightarrow f'(x) &= f'(x) +(x - 1)f''(x), \quad x \ne 1 \\ \Leftrightarrow f''(x) &= 0, \quad x \ne 1 \end{aligned} \]

  3. 따라서 이계도함수 \(f"(x)\)가 1이 아닌 임의의 실수 \(x\)에 대하여 항등적으로 0이므로,
    \(\forall x \ne 1\)에 대해 \(f'(x) = A\)라는 상수값을 가지며, Solution 1에서와 같이 함수 \(f(x)\)를 아래와 같이 구할 수 있다. \[ f(x) = Ax+B,\quad \forall x\in \mathbb{R} \]

Solution 3. Power Series (멱급수) form 사용.

  1. 임의의 다항함수를 \(x-1\)에 대한 term으로 정렬하면, 아래와 같다. \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - 1)^n \]

  2. 이 때 \(f(1) = a_0\)이므로, 주어진 관계식을 아래와 같이 정리할 수 있다.

    • Left의 경우, \[ \begin{aligned} f(x) - f(1) &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n (x - 1)^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} (x - 1)^{n+1} \\ \Rightarrow \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} &= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} (x - 1)^{n} \end{aligned} \]

    • Right의 경우, 미분의 선형성에 의해, \[ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} (x - 1)^{n} \]

  3. 따라서 멱급수 유일성 - 두 멱급수가 항등적으로 같을 때 모든 order(차수)의 Coefficients(계수)가 같다는 성질 - 에 의해, 아래의 식이 성립한다. \[ \begin{aligned} a_{n+1} &= (n+1) a_{n+1}, \quad n\geq 0 \\ \Leftrightarrow n \cdot a_{n+1} &= 0, \quad n\geq 0 \end{aligned} \]

  4. 따라서 \(a_2 = a_3 = a_4 = \cdots = 0\)이므로, 주어진 다항함수 \(f(x)\)를 아래와 같이 정리할 수 있다. \[ f(x) = \sum_{n=0}^{1} a_n (x - 1)^n = a_0 + a_1(x-1) = Ax+B \]

최종 결론

  • Solution 1 혹은 Solution 2에서 1번 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 1차 이하의 다항함수임을 알 수 있고,
  • Solution 3에서는 다항함수조건을 사용하여 구할 수 있다.